ترجمة متواضعة لورقة كارني العلمية كبديل عن تقريب فينسنتي إلى اللغة العربية
• خوارزميات
لحساب الجيوديسيات (المسارات الأقصر على سطح إهليلجي)
• تشارلز إف.
إف. كارني
• معهد SRI الدولي، 201 طريق واشنطن، برينستون،
نيوجيرسي 08543-5300، الولايات المتحدة
• (21 سبتمبر
2011؛ منقح)
[الملخص]
تُقدّم هذه
الورقة خوارزميات لحساب المسارات الجيوديسية على سطح إهليلجي دوراني. توفر هذه
الخوارزميات حلولاً دقيقة وقوية وسريعة للمسألتين الجيوديسيتين المباشرة والعكسية،
كما تتيح حساب الخصائص التفاضلية والتكاملية للمسارات الجيوديسية.
[الكلمات المفتاحية]
جيوديسيا
هندسية، مسارات جيوديسية، مساحات مضلعة، إسقاط جنوموني، طرق عددية
[1. المقدمة]
يُطلق على
أقصر مسار بين نقطتين على سطح الأرض (الذي يعامل عادةً كسطح إهليلجي دوراني) اسم
المسار الجيوديسي. هناك مسألتان جيوديسيتان رئيسيتان: المسألة المباشرة (إيجاد
نقطة نهاية المسار بمعلومية نقطة البداية، السمت الأولي، والطول) والمسألة العكسية
(إيجاد أقصر مسار بين نقطتين معلومتين). كما يظهر في الشكل 1، كلتا المسألتين
تعادلان حل المثلث الجيوديسي
NAB بمعلومية
ضلعين والزاوية المحصورة بينهما.
الشكل 1]
مثلث
إهليلجي
NAB حيث:
·
N: القطب الشمالي
·
NAF و NBH: خطوط زوالية
·
AB: مسار جيوديسي بطول s₁₂
·
λ₁₂: خط طول النقطة B بالنسبة لـ A
·
φ₁ و φ₂: خطا عرض النقطتين A و B على التوالي
·
α₀، α₁، α₂: السمت الأمامي للمسار الجيوديسي عند النقاط E، A، B
[أهداف البحث]
يهدف هذا
العمل إلى تطوير طرق حساب المسارات الجيوديسية لتناسب الحواسيب الحديثة، مع
تحسينات ثلاثة:
1.
زيادة الدقة لمطابقة دقة الحواسيب الحديثة
2.
تقديم حل للمسألة العكسية يتقارب لجميع
أزواج النقاط
3.
حساب الخصائص التفاضلية والتكاملية
للمسارات الجيوديسية
[هيكل الورقة]
• القسم 2:
يراجع الحل الكلاسيكي للمسألة الجيوديسية باستخدام الكرة المساعدة
• القسم 3:
يقدم الخصائص التفاضلية للمسارات الجيوديسية
• القسم 4:
يحل المسألة العكسية بطريقة نيوتن
• القسم 5:
يقدم تخمينًا أوليًا جيدًا للحل
• القسم 6:
يحسب المساحة بين مسار جيوديسي وخط الاستواء
• القسم 7:
يناقش تفاصيل التنفيذ والدقة
• القسم 8:
يقدم إسقاطًا جنومونيًا إهليلجيًا
• لأغراض هذه
الورقة، من المفيد تعميم تعريف المسار الجيوديسي. يتم تعريف انحناء المسار
الجيوديسي
κ لأي منحنى
عند نقطة
P على سطح ما
على أنه انحناء إسقاط المنحنى على مستوى مماس للسطح عند P. جميع المسارات الأقصر على سطح تكون
مستقيمة، معرفة بأن
κ=0 عند كل
نقطة على المسار.
• تظهر بعض النتائج المذكورة هنا سابقًا في
تقرير فني (كارني، 2011).
2.[المعادلات الأساسية والمسألة المباشرة]
• ندرس سطحًا
إهليلجيًا دورانيًا بنصف قطر استوائي a، ونصف محور قطبي b ، وتسطيح f ، وثالث تسطيح n، وانزياح e، وانزياح ثان e' معرفة بالمعادلات:
(1) f = (a - b)/a = 1 - √(1 - e²)
(2) n = (a - b)/(a + b) = f/(2 - f)
(3) e² = (a² - b²)/a² = f(2 - f)
(4) e'² = (a² - b²)/b² = e²/(1 - e²)
• نتيجة للتماثل الدوراني للسطح الإهليلجي،
تخضع المسارات الجيوديسية لعلاقة وجدها كليرو (1735):
(5) sin α₀ = sin α₁ cos β₁ = sin α₂ cos
β₂
حيث β هو خط العرض المختزل (يسمى أحيانًا خط
العرض البارامتري)، معطى بالمعادلة:
(6) tan β = (1 - f) tan φ
• يمكن حل المسائل الجيوديسية بسهولة
باستخدام كرة مساعدة تسمح بإجراء مراسلات دقيقة بين مسار جيوديسي ودائرة عظمى على
كرة. على الكرة، يتم استبدال خط العرض φ بخط العرض المختزل β ، ويتم الحفاظ على السمتات α.
[الشكل 2]
مثلث
إهليلجي أولي
NEP معروض على
الكرة المساعدة:
·
NE و NPG خطوط زوالية
·
EG خط
الاستواء
·
EP دائرة عظمى (أي المسار الجيوديسي)
(7) s/b = ∫₀ᵒ √(1 + k² sin²σ') dσ' =
I₁(σ)
(8) λ = ω - f sin α₀ ∫₀ᵒ (2 - f)/(1 +
(1 - f)√(1 + k² sin²σ')) dσ' = ω - f sin α₀ I₃(σ)
(9) k = e' cos α₀
• الأصل لـ s ، σ، λ، وω هو
النقطة
E ،
حيث يعبر المسار الجيوديسي خط الاستواء في الاتجاه الشمالي، بسمت α₀.
[معادلات المثلثات الكروية]
(10) α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β|
+ i sin α cos β)
(11) σ = ph(cos α cos β + i sin β)
(12) ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ)
(13) β = ph(|cos α₀ cos σ + i sin α₀|
+ i cos α₀ sin σ)
(14) α = ph(cos α₀ cos σ + i sin α₀)
حيث i = √-1 وph(x + iy) هي
طور العدد المركب
(معطاة
عادةً بدالة atan2(y,x)).
• يمكن توسيع
تكامل المسافة في المعادلة
s/b = ∫₀ᵒ √(1 + k² sin²σ') dσ' = I₁(σ)
إلى متسلسلة فورييه:
(15) I₁(σ) = A₁(σ + Σ [C₁ₗ sin(2lσ)] )
حيث l من 1 إلى ∞
• من الأفضل استخدام المعلمة ϵ المعرفة بـ:
(16) ϵ = (√(1 + k²) - 1)/(√(1 + k²) + 1)
k = (2√ϵ)/(1 - ϵ) = e' cos α
e' =√ (a² - b²)/b²
• كمعامل للتوسع. وهذا يؤدي إلى متسلسلات
تحتوي على نصف عدد الحدود مقارنة بتلك المستخدمة في k². يمكن إجراء عملية التوسع بسهولة إلى أي
رتبة مطلوبة باستخدام نظام جبر حاسوبي مثل ماكسيما، نحصل على:
A₁ = (1 -
ϵ)⁻¹ (1 + (¼)ϵ² + (1⁄64)ϵ⁴ + (1⁄256)ϵ⁶ + ⋯) (17)
C₁₁ =
-(½)ϵ + (³⁄₁₆)ϵ³ - (¹⁄₃₂)ϵ⁵ + ⋯
C₁₂ = -(¹⁄₁₆)ϵ² + (¹⁄₃₂)ϵ⁴ - (⁹⁄₂₀₄₈)ϵ⁶ + ⋯
C₁₃ = -(¹⁄₄₈)ϵ³ + (³⁄₂₅₆)ϵ⁵ + ⋯
C₁₄ = -(⁵⁄₅₁₂)ϵ⁴ + (³⁄₅₁₂)ϵ⁶ + ⋯
C₁₅ = -(⁷⁄₁₂₈₀)ϵ⁵ + ⋯
C₁₆ = -(⁷⁄₂₀₄₈)ϵ⁶ + ⋯ (18)
هذا يمثل
امتدادًا للمعادلة (5.5.7) من
Helmert (1880) إلى رتبة
أعلى. يمكن إدراج هذه المعاملات في المعادلة (1.40) من Rapp (1993) باستخدام:
ℬⱼ = {A₁، عندما j = 0،
2A₁C₁ˡ، عندما j = 2ˡ (حيث l > 0)،} (19)
حيث يُستخدم هنا - وفي المعادلات اللاحقة
(22) و(26) - حرف سكريبت
(مثل ℬ) لتمثيل معاملات Rapp.
يمثل هذا الامتداد تطورًا لمعادلة (5.8.14)
من
Helmert (1880) إلى رتبة
أعلى. يمكن إدراج هذه المعاملات في معادلة (1.56) من Rapp (1993) باستخدام العلاقة:
𝒜ⱼ = {A₃، عندما
j = 0،
2A₃C₃ˡ، عندما j = 2ˡ (حيث l > 0)،} (26)
𝒟j=2C1l′,for j=2l,
with l>0.
حل المسألة الجيوديسية المباشرة:
عند حل
المسألة الجيوديسية المباشرة
(حيث تكون
المسافة
s₁₂ معطاة)، يُطلب تحديد الزاوية σ عند معرفة المسافة s. بينما يستخدم Vincenty طريقة تكرارية لحل σ، نتبع هنا نهج Helmert (1880، §5.6) الأبسط بالتعويض عن العلاقة:
s = bA₁τ
في المعادلتين
s/b = ∫₀ᵒ √(1 + k² sin²σ') dσ' = I₁(σ)
I₁(σ) = A₁(σ + Σ [C₁ₗ sin(2lσ)] )
، لنحصل على:
τ = σ + ∑ₗ(C₁ˡ sin2ˡσ)
لحل المسألة الجيوديسية المباشرة، نستخدم
انعكاس لاغرانج:
(20) σ = τ + Σ [C₁ₗ′ sin(2lτ)]
حيث l من 1 إلى ∞
(21) C₁₁′ = 1/2 ϵ - 9/32 ϵ³ + 205/1536
ϵ⁵ + ...
C₁₂′ = 5/16 ϵ² - 37/96 ϵ⁴ + 1335/4096 ϵ⁶ + ...
C₁₃′ = 29/96 ϵ³ - 75/128 ϵ⁵ + ...
C₁₄′ = 539/1536 ϵ⁴ - 2391/2560 ϵ⁶ + ...
C₁₅′ = 3467/7680 ϵ⁵ + ...
C₁₆′ = 38081/61440 ϵ⁶ + ...
• يمثل هذا العمل امتدادًا للمعادلة (5.6.8) التي قدمها هلمرت
(Helmert) عام 1880 ليشمل رتبًا أعلى. يمكن استخدام هذه
المعاملات في المعادلة (1.142) من بحث راب (Rapp) عام 1993 وفق العلاقة التالية:
𝒟ⱼ = 2C₁ˡ′ عندما j = 2ˡ حيث l > 0. (22)
𝒟j=2C1l′,for j=2l, with l>0. (22)
بالنسبة لتكامل خط الطول في المعادلة
λ = ω - f
sin α₀ ∫₀ᵒ (2 - f)/(1 + (1 - f)√(1 + k² sin²σ')) dσ' = ω - f sin α₀ I₃(σ):
وبالمثل،
يمكن التعبير عن التكامل الظاهر في معادلة الطول السابقة كمتسلسلة فورييه:
(23)
I₃(σ) = A₃(σ + Σ [C₃ₗ sin(2lσ)] )
(24)
A₃ = 1 - (1/2 - n/2)ϵ - (1/4 + n/8 - 3n²/8)ϵ² - ...
(25) C₃₁ = (1/4 - n/4)ϵ + (1/8 -
n²/8)ϵ² + ...
C₃₂ = (1/16 - 3n/32 + n²/32)ϵ² + ...
C₃₃ = (5/192 - 3n/64 + 5n²/192)ϵ³ + ...
C₃₄ = (7/512 - 7n/256)ϵ⁴ + ...
C₃₅ = 21/2560 ϵ⁵ + ...
يمثل هذا
الامتداد تطورًا لمعادلة (5.8.14) من Helmert (1880) إلى رتبة أعلى. يمكن إدراج هذه المعاملات
في معادلة (1.56) من
Rapp (1993) باستخدام
العلاقة:
𝒜ⱼ = {A₃، عندما
j = 0،
2A₃C₃ˡ، عندما j = 2ˡ (حيث l > 0)،} (26)
𝒟j=2C1l′,for j=2l,
with l>0.
الجدول
1: معلمات الإهليلج
WGS84 المستخدمة في الأمثلة. يبين
العمود المسمى
"Eq." المعادلات المستخدمة لحساب
الكميات المقابلة.
|
الكمية |
القيمة |
المعادلة |
|
a |
6,378,137 م |
معطى |
|
f |
1/298.257223563 |
معطى |
|
b |
6,356,752.314245 م |
f = (a - b)/a |
|
c |
6,371,007.180918 م |
c² = (a²/2) + (b²/2)(tanh⁻¹e/e) |
|
n |
0.00167922038638370 |
n = (a - b)/(a + b) = f/(2 - f) |
|
e² |
0.00669437999014132 |
e² = (a² - b²)/a² = f(2 - f) |
|
e'² |
0.00673949674227643 |
e'² = (a² - b²)/b² = e²/(1 - e²) |
[جدول 2: مثال على الحساب
المباشر]
|
الكمية |
القيمة |
المعادلة |
|
φ₁ |
40° |
معطى |
|
α₁ |
30° |
معطى |
|
s₁₂ |
10,000,000 م |
معطى |
|
β₁ |
39.90527714601° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
α₀ |
22.55394020262° |
α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β| + i sin α cos β) |
|
σ₁ |
43.99915364500° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
ω₁ |
20.32371827837° |
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ) |
|
k² |
0.00574802962857 |
k = e' cos α₀ |
|
ϵ |
0.00143289220416 |
ϵ = (√(1 + k²) - 1)/(√(1 + k²) + 1) أو k = (2√ϵ)/(1 - ϵ) |
|
A₁ |
1.00143546236207 |
A₁ = (1/(1 - ϵ))(1 + (1/4)ϵ² + (1/64)ϵ⁴ + (1/256)ϵ⁶ + ...) |
|
σ₂ |
133.92164083038° |
σ = τ + Σ [C₁ₗ′ sin(2lτ)] C₁₁′ = 1/2 ϵ - 9/32 ϵ³ + 205/1536 ϵ⁵ + ... |
|
α₂ |
149.09016931807° |
α = ph(cos α₀ cos σ + i sin α₀) |
|
β₂ |
41.69771809250° |
β = ph(|cos α₀ cos σ + i sin α₀| + i cos α₀ sin σ) |
|
φ₂ |
41.79331020506° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
λ₁₂ |
137.84490004377° |
λ = ω - f sin α₀ I₃(σ) |
• تسمح المعادلات الواردة في هذا القسم بحل المسألة الجيوديسية المباشرة.
بمعرفة φ₁ وα₁، يمكن حل المثلث الكروي NEA لإيجاد α₀ وσ₁ وω₁ باستخدام المعادلات:
α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β| + i sin α cos β)
σ = ph(cos α cos β + i sin β)
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ)
3.[ الكميات التفاضلية]
• قبل الانتقال إلى المسألة العكسية، أقدم حل غاوس للسلوك التفاضلي للمسارات
الجيوديسية. نحتاج إلى كمية تفاضلية واحدة، الطول المختزل m₁₂، لحل
المسألة العكسية بطريقة نيوتن.
• النظر في مسار جيوديسي مرجعي
معطى بالمسافة s ومسار جيوديسي قريب منه مفصول بمسافة متناهية الصغر t(s). أظهر غاوس (1828) أن t(s) يحقق المعادلة التفاضلية:
(27) d²t(s)/ds² + K(s)t(s) = 0
• الكمية m₁₂ هي الطول المختزل للمسار الجيوديسي. بالنسبة لمسارين جيوديسيين يتقاطعان
عند s=s₁ بزاوية صغيرة dα₁، سيكونان مفصولين عند s=s₂ بمسافة m₁₂ dα₁.
(28) W(M₁₂,m₁₂)(s₂) = M₁₂ dm₁₂/ds₂ - m₁₂ dM₁₂/ds₂
= 1
(29) dm₁₂/ds₂ = M₂₁
(30) dM₁₂/ds₂ = -(1 - M₁₂M₂₁)/m₁₂
يأتي ثبات
محدد ورونسكين من ملاحظة أن مشتقته بالنسبة إلى s₂ يصبح صفراً، ويتم تحديد قيمته من خلال
تقييمه عند
s₂ = s₁. يقدم الشكل ٣(ج) برهاناً هندسياً للمعادلة
dm₁₂/ds₂ =
M₂₁
،
وتنتج المعادلة
dM₁₂/ds₂ = -(1 - M₁₂M₂₁)/m₁₂
مباشرة من المعادلة
W(M₁₂,m₁₂)(s₂) = M₁₂ dm₁₂/ds₂ - m₁₂
dM₁₂/ds₂ = 1
بمعرفة هذه المشتقات، يمكن بسهولة اشتقاق
قواعد الجمع التالية:
m₁₃ = m₁₂
M₂₃ + m₂₃ M₂₁ (31)
M₁₃ = M₁₂ M₂₃ - (1 - M₁₂ M₂₁) m₂₃/m₁₂
(32)
M₃₁ = M₃₂ M₂₁ - (1 - M₂₃ M₃₂) m₁₂/m₂₃
(33)
حيث تقع النقاط 1 و2 و3 جميعها على نفس
المسار الجيوديسي.
تسمح المسارات الجيوديسية بتعميم مفاهيم
الهندسة المستوية لتطبق على الأسطح المنحنية. على وجه الخصوص، يمكن تعريف الدائرة
الجيوديسية على أنها المنحنى الذي يبعد مسافة جيوديسية ثابتة عن نقطة ثابتة.
وبالمثل، فإن المنحنى الموازي جيوديسياً هو المنحنى الذي يحافظ على مسافة جيوديسية
ثابتة من المنحنى المرجعي.
يمكن التعبير عن انحناء المسار الجيوديسي
للمنحنى الموازي باستخدام
m₁₂ و M₁₂. لنفترض أن النقطة 1 هي نقطة عشوائية على
المنحنى المرجعي بانحناء جيوديسي
κ₁،
والنقطة 2 هي النقطة المقابلة على المنحنى الموازي، التي تبعد مسافة ثابتة s₁₂. يتم تحديد الانحناء الجيوديسي للموازي عند
تلك النقطة من المعادلتين
dm₁₂/ds₂ = M₂₁
dM₁₂/ds₂ = -(1 - M₁₂M₂₁)/m₁₂
κ₂ = (M₂₁
κ₁ - (1 - M₁₂ M₂₁)/m₁₂)/(m₁₂ κ₁ + M₁₂)
(34)
أما انحناء الدائرة فينتج من النهاية κ₁ → ∞:
κ₂ =
M₂₁/m₁₂ (35)
وإذا كان المنحنى المرجعي مساراً جيوديسياً (κ₁ → 0) ، يصبح انحناء الموازي:
κ₂ = -(1 -
M₁₂ M₂₁)/(M₁₂ m₁₂) (36)
إذا افترضنا مسافة
أولية مفلطحة للمنحنى المرجعي، فإن التخط الموازي يتقاطع على مسافة كبيرة بما فيه
الكفاية من المنحنى المرجعي ، يبدأ هذا بالحدوث عندما ∞→ κ2 في المعادلة
κ₂ = (M₂₁ κ₁ - (1 - M₁₂ M₂₁)/m₁₂)/(m₁₂ κ₁
+ M₁₂)
تنطبق النتائج المذكورة أعلاه على الأسطح العامة.
بالنسبة للجيوديسي
على مجسم إهليلجي ذي دوران، يُعطى الانحناء الغاوسي للسطح بواسطة العلاقة ::
K = (1 -
e² sin²φ)²/b² = 1/(b²(1 + k² sin²σ)²)
(37)
e =√
((a²−b²)/a²)
حل هيلمرت (1880، المعادلة
d²t(s)/ds² + K(s)t(s) = 0
في هذه الحالة يعطي:
m₁₂/b =
√(1 + k² sin²σ₂) cosσ₁ sinσ₂ - √(1 + k² sin²σ₁) sinσ₁ cosσ₂ - cosσ₁ cosσ₂
(J(σ₂) - J(σ₁)) (38)
M₁₂ = (cosσ₁ cosσ₂ + √(1 + k² sin²σ₂)/√(1 + k² sin²σ₁) sinσ₁ sinσ₂ - sinσ₁
cosσ₂ (J(σ₂) - J(σ₁)))/√(1 + k² sin²σ₁)
(39)
حيث:
J(σ) = ∫₀ᵒ (k² sin²σ′)/(1 + k² sin²σ′) dσ′ = s/b - ∫₀ᵒ 1/√(1 + k² sin²σ′) dσ′ =
I₁(σ) - I₂(σ) (40)
في النهاية الكروية عندما f →
0،
تختزل المعادلتان
M₁₂ = (cosσ₁ cosσ₂ + √(1 + k² sin²σ₂)/√(1
+ k² sin²σ₁) sinσ₁ sinσ₂ - sinσ₁ cosσ₂ (J(σ₂) - J(σ₁)))/√(1 + k² sin²σ₁)
و
M₁₂ = (cosσ₁ cosσ₂ + √(1 + k² sin²σ₂)/√(1
+ k² sin²σ₁) sinσ₁ sinσ₂ - sinσ₁ cosσ₂ (J(σ₂) - J(σ₁)))/√(1 + k² sin²σ₁) إلى:
m₁₂ = a
sinσ₁₂ = a sin(s₁₂/a)
M₁₂ = cosσ₁₂ = cos(s₁₂/a)
يمكن توسيع
التكامل
I₂(σ) في
المعادلة e² = (a² -
b²)/a² = f(2 - f)
إلى متسلسلة فورييه بطريقة مشابهة لـ I₁(σ) في المعادلة:
I₁(σ) = A₁(σ + Σ [C₁ₗ sin(2lσ)] )
حيث l من 1 إلى ∞
• من الأفضل استخدام المعلمة ϵ المعرفة بـ:
ϵ = (√(1 + k²) - 1)/(√(1 + k²) + 1)
= e' cos α₀ k =
(2√ϵ)/(1 - ϵ)
e' =√ (a² - b²)/b²
• باستخدام نظام جبر حاسوبي مثل ماكسيما،
نحصل على:
A₁ = (1/(1
- ϵ))(1 + (1/4)ϵ² + (1/64)ϵ⁴ + (1/256)ϵ⁶ + ...)
C₁₁ = -1/2 ϵ + 3/16 ϵ³ - 1/32 ϵ⁵ + ...
C₁₂ = -1/16 ϵ² + 1/32 ϵ⁴ - 9/2048 ϵ⁶ + ...
C₁₃ = -1/48 ϵ³ + 3/256 ϵ⁵ + ...
C₁₄ = -5/512 ϵ⁴ + 3/512 ϵ⁶ + ...
C₁₅ = -7/1280 ϵ⁵ + ...
C₁₆ = -7/2048 ϵ⁶ + ...
• لحل المسألة الجيوديسية المباشرة، نستخدم
انعكاس لاغرانج:
σ = τ + Σ [C₁ₗ′ sin(2lτ)]
حيث l من 1 إلى ∞
C₁₁′ = 1/2 ϵ - 9/32 ϵ³ + 205/1536 ϵ⁵ + ...
C₁₂′ = 5/16 ϵ² - 37/96 ϵ⁴ + 1335/4096 ϵ⁶ + ...
C₁₃′ = 29/96 ϵ³ - 75/128 ϵ⁵ + ...
C₁₄′ = 539/1536 ϵ⁴ - 2391/2560 ϵ⁶ + ...
C₁₅′ = 3467/7680 ϵ⁵ + ...
C₁₆′ = 38081/61440 ϵ⁶ + ...
I₂(σ) =
A₂(σ + Σ [C₂ₗ sin(2lσ)]) (41)
حيث:
A₂ = (1/(1-ϵ))(1 + (1/4)ϵ² + (9/64)ϵ⁴ + (25/256)ϵ⁶ + ...) (42)
C₂₁ = (1/2)ϵ + (1/16)ϵ³ + (1/32)ϵ⁵ + ...
C₂₂ = (3/16)ϵ² + (1/32)ϵ⁴ + (35/2048)ϵ⁶ + ...
C₂₃ = (5/48)ϵ³ + (5/256)ϵ⁵ + ... (43)
C₂₄ = (35/512)ϵ⁴ + (7/512)ϵ⁶ + ...
C₂₅ = (63/1280)ϵ⁵ + ...
C₂₆ = (77/2048)ϵ⁶
4. المسألة العكسية
تعتبر المسألة العكسية أكثر تعقيداً
جوهرياً من المسألة المباشرة لأن الزاوية المعطاة λ₁₂ في الشكل 1 ترتبط بالزاوية المقابلة على
الكرة المساعدة
ω₁₂ عبر سمت
استوائي مجهول
α₀. وبالتالي
تصبح المسألة العكسية حتمياً تمريناً في إيجاد الجذور.
أعالج هذه المشكلة كالتالي: بافتراض أن α₁ معروف، يتم حل المسألة الجيوديسية الهجينة:
بمعلومية
φ₁ و φ₂ وα₁، أوجد λ₁₂ المقابلة لأول تقاطع للمسار الجيوديسي مع
دائرة العرض
φ₂. عادةً ما
يختلف ناتج
λ₁₂ عن القيمة
المعطاة، لذا يتم تعديل
α₁ باستخدام
طريقة نيوتن حتى الحصول على القيمة الصحيحة لـ λ₁₂.
أبدأ بوضع
النقاط في تكوين قياسي:
φ₁ ≤ 0، φ₁ ≤ φ₂ ≤ -φ₁،
0 ≤ λ₁₂ ≤ π (44)
يتم التعامل مع المسارات الجيوديسية
الزوالية
(λ₁₂=0 أو π) والاستوائية (φ₁=φ₂=0 مع λ₁₂≤(1-f)π) كحالات خاصة. يتم حل الحالة العامة بطريقة
نيوتن كما هو موضح أعلاه.
الشكل 4:
يوضح تغير λ₁₂ كدالة في α₁ لـ φ₁=-30° وقيم مختلفة لـ φ₂ على إهليلج WGS84. الجزء (أ) يظهر λ₁₂ لـ φ₂=0°، ±15°، ±25°، و±30°. الجزء (ب) يظهر تكبيراً
للزاوية العلوية اليمنى من (أ).
حل المسألة الجيوديسية الهجينة مباشر:
1.
أوجد β₁ وβ₂ من
المعادلة
tan β = (1
- f) tan φ
2.
حل من أجل α₀ و α₂ من المعادلة
sin α₀ =
sin α₁ cos β₁ = sin α₂ cos β₂
، مع أخذ cosα₀>0 وcosα₂≥0
3.
لحساب α₂ بدقة، استخدم :
cosα₂ = +√(cos²α₁ cos²β₁ + (cos²β₂ - cos²β₁))/cosβ₂ (45)
4.
احسب σ₁، ω₁، σ₂، وω₂ باستخدام المعادلتين
σ = ph(cos α cos β + i sin β)
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ)
5.
أخيراً، حدد λ₁₂ (ومتى تم تحقيق التقارب ، s₁₂)
كما في حل
المسألة المباشرة
لتطبيق طريقة نيوتن، نحتاج إلى تعبير عن dλ₁₂/dα₁. بالنظر إلى مسار جيوديسي بسمت ابتدائي α₁، إذا زيد السمت إلى α₁+dα₁ مع ثبات الطول، فإن الطرف الآخر يتحرك
بمقدار
m₁₂ dα₁ في اتجاه π/2 + α₂. إذا امتد المسار الجيوديسي ليتقاطع مع
الموازي
φ₂ مرة أخرى،
تتحرك نقطة التقاطع بمقدار
m₁₂ dα₁/cosα₂ (انظر
الشكل 5). نصف قطر هذا الموازي هو
a cosβ₂،
وبالتالي يكون معدل تغير فرق الطول:
dλ₁₂/dα₁ = m₁₂/(a * cosα₂ * cosβ₂) (46)
تصبح هذه المعادلة غير محددة عندما β₂=±β₁ و α₁=π/2. في هذه الحالة، نأخذ النهاية عندما δ→±0 مما يعطي:
dλ₁₂/dα₁ = -√(1- e² * cos²β₁)/sinβ₁ (1 ∓ sign(cosα₁)) (47)
حيث sign(cosα₁) = -sign(δ).
الشكل 5: يوضح إيجاد dλ₁₂/dα₁ مع ثبات φ₁ وφ₂.
كان فنسنتي (1975a) الذي استخدم الطريقة التكرارية لهيلمرت
(1880) لحل المسألة العكسية، على علم بعدم تقاربها للنقاط شبه المتقابلة. في تقرير
غير منشور
(1975b)،
قدم تعديلاً على طريقته يتعامل مع هذه الحالة. لسوء الحظ، يتطلب هذا أحياناً آلاف
التكرارات للتقارب، بينما طريقة نيوتن الموضحة هنا تحتاج فقط لبضعة تكرارات.
نقطة البداية لطريقة نيوتن
الجدول 3: أول عينة حسابية عكسية محددة بـ:
ϕ₁ = -30.12345°
ϕ₂ = -30.12344°
λ₁₂ = 0.00005°
نظرًا لأن النقاط ليست متقابلة
تقريبًا، يتم العثور على تخمين أولي لـ α₁ بافتراض أن ω₁₂ = λ₁₂ / w̄. ومع ذلك، في هذه الحالة، يكون
الخط قصيرًا بما يكفي بحيث يكون الخطأ في ω₁₂ ضئيلًا عند الدقة المعطاة، ويتم إكمال حل المسألة العكسية باستخدام:
s₁₂ = a w̄ σ₁₂
حيث:
w̄ = √(1 - e² ((cos β₁ + cos β₂) / 2)²)
(48)
بشكل عام، سيتم تحسين قيمة α₁ باستخدام طريقة نيوتن.
إكمال حل المسألة العكسية
لحل المسألة العكسية، نحتاج إلى
تخمين أولي جيد لـ α₁. في معظم الحالات، يتم ذلك بافتراض أن:
ω₁₂ = λ₁₂ / w̄
وحل دائرة عظمى على الكرة
المساعدة باستخدام (Vincenty, 1975a) :
z₁ = cos β₁ sin β₂ - sin β₁ cos
β₂ cos ω₁₂ + i cos β₂ sin ω₁₂
z₂ = -sin β₁ cos β₂ + cos β₁ sin β₂ cos ω₁₂ + i cos β₁ sin ω₁₂
α₁ = ph z₁ (49)
α₂ = ph z₂ (50)
σ₁₂ = ph (sin β₁ sin β₂ + cos β₁ cos β₂ cos ω₁₂ + i |z₁|) (51)
مثال على حل المسألة العكسية
بهذه الطريقة موضح في الجدول التالي:
|
الكمية |
القيمة |
المعادلة |
|
ϕ₁ |
-30.12345° |
معطاة |
|
ϕ₂ |
-30.12344° |
معطاة |
|
λ₁₂ |
0.00005° |
معطاة |
|
تحديد ω₁₂ |
||
|
β₁ |
-30.03999083821° |
tan β₁ =
(1 - f) tan φ₁ |
|
β₂ |
-30.03998085491° |
tan β₁ =
(1 - f) tan φ₂ |
|
w̄ |
0.99748847744 |
w̄ = √(1 - e² ((cos β₁ + cos β₂) / 2)²) |
|
ω₁₂ |
0.00005012589° |
λ₁₂ / w̄ |
|
σ₁₂ |
0.00004452641° |
σ₁₂ = ph (sin β₁ sin β₂ + cos β₁ cos β₂ cos ω₁₂
+ i |z₁|) |
|
الحل |
||
|
α₁ |
77.04353354237° |
α₁ = ph z₁ |
|
α₂ |
77.04350844913° |
α₂ = ph z₂ |
|
s₁₂ |
4.944208 م |
a w̄ σ₁₂ |
نقاط متقابلة تقريبًا
هذا الإجراء غير كافٍ للنقاط
المتقابلة تقريبًا لأن كلاً من المركبات الحقيقية والتخيلية لـ z₁ تكون صغيرة، ويعتمد α₁ بشكل حساس جدًا على ω₁₂. في الحالة المقابلة على الكرة، يمكن تحديد α₁ بملاحظة أن جميع الدوائر العظمى المنبثقة من النقطة A تلتقي عند النقطة O (النقطة المقابلة لـ A). وبالتالي، يمكن تحديد α₁ على أنه المكمل لزاوية الدائرة العظمى B-O عند O. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن B و O قريبتان، يمكن تقريب الكرة محليًا كمستوى.
حالة القطع الناقص
الوضع مختلف قليلاً في القطع
الناقص، حيث لا تلتقي الخطوط الجيوديسية المنبثقة من A عند نقطة واحدة، بل تشكل غلافًا على شكل كروي (astroid) مركزه O ، بامتداد O(f)
(Jacobi, 1891 ، المعادلات
ϵ = (√(1 + k²) - 1)/(√(1
+ k²) + 1)
k = 2√ϵ/(1 - ϵ)
A₁ = (1 -
ϵ)⁻¹ (1 + (¹⁄₄)ϵ² + (¹⁄₆)₄ϵ⁴ + (¹⁄₂₅₆)ϵ⁶ + ⋯)
C₁₁ =
-(¹⁄₂)ϵ + (³⁄₁₆)ϵ³ - (¹⁄₃₂)ϵ⁵ + ⋯
C₁₂ = -(¹⁄₁₆)ϵ² + (¹⁄₃₂)ϵ⁴ - (⁹⁄₂₀₄₈)ϵ⁶ + ⋯
C₁₃ = -(¹⁄₄₈)ϵ³ + (³⁄₂₅₆)ϵ⁵ + ⋯
C₁₄ = -(⁵⁄₅₁₂)ϵ⁴ + (³⁄₅₁₂)ϵ⁶ + ⋯
C₁₅ = -(⁷⁄₁₂₈₀)ϵ⁵ + ⋯
C₁₆ = -(⁷⁄₂₀₄₈)ϵ⁶ + ⋯
يُعطى موضع لمس خط جيوديسي معين
لهذا الغلاف بالشرط m₁₂ = 0. ومع ذلك، يمكن استخدام طرق أولية لتحديد الغلاف.
خذ بعين الاعتبار خطًا جيوديسيًا
يغادر A (مع β₁ ≤ 0) بزاوية α₁ ∈ [½π, π]. يتقاطع هذا أولاً مع دائرة خط العرض المعاكس β₂ = -β₁، حيث σ₁₂ = ω₁₂ =
π و α₂ = π - α₁. تعطي المعادلة :
λ = ω - f sin α₀ I₃(σ)
λ₁₂ = π - f * π * cos β₁ * sin
α₁ + O(f²) (52)
نظام الإحداثيات المستوي:
(53) نُعرّف نظام إحداثيات مستوي ( x،y ) متمركزًا حول النقطة المقابلة، حيث تكون
Δ = f *a *π *cos²β₁ هي وحدة الطول، أي:
λ₁₂ = π + (Δ/(a cosβ₁)) x
β₂ = -β₁ + (Δ/a) y
في هذا النظام الإحداثي، تتوافق
المعادلة
λ₁₂ = π - f * π * cos β₁ * sin α₁ + O(f²)
مع النقطة:
x = -sinα₁
y = 0
وميل الخط الجيوديسي هو -cotα₁. وعليه، يمكن تقريب الخط الجيوديسي بالقرب من النقطة المقابلة بالمعادلة:
(54) x / sinα₁ + y / cosα₁ + 1 = 0
حيث تم إهمال حدود من رتبة f². وبالسماح لـ α₁ بالتغير، تحدد المعادلة السابقة مجموعة من الخطوط التي
تقارب الخطوط الجيوديسية المنبثقة من A. باشتقاق هذه المعادلة بالنسبة لـ α₁ وحل المعادلات الناتجة لـ x و y، نحصل على المعادلات
البارامترية للشكل ال-كروي:
x = -sin³α₁
y = -cos³α₁
مع ملاحظة أنه وفقًا لترتيب
النقاط في المعادلة
φ₁ ≤ 0، φ₁ ≤ φ₂ ≤ -φ₁، 0 ≤ λ₁₂ ≤ π
، يكون x ≤ 0 و y ≤ 0.
الشكل 6: حل معادلات الشكل ال-كروي باستخدام المثلثات المتشابهة. الإحداثيات
المعيارية لـ B هي (x، y)، و O هي النقطة المقابلة لـ A. الخط B-C-D ، المعطى بالمعادلة
x / sinα₁ + y / cosα₁ + 1 = 0
هو امتداد الخط الجيوديسي من A-B ، حيث C هي نقطة تقاطعه مع الدائرة β = -β₁ و D هي نقطة تقاطعه مع خط الزوال λ = λ₁ + π. يعطي غلاف الخطوط التي تحقق الشرط CD = 1 الشكل ال-كروي، حيث يظهر جزء منه
في المنحنيات.
بالنظر إلى x و y (أي موقع النقطة B)، يمكن حل المعادلة
x / sinα₁ + y / cosα₁ + 1 = 0
للحصول على تقريب أولي لـ α₁. هذه الطريقة مقدمة من هيلمرت (1880، المعادلة 7.3.7)، الذي يلاحظ أن هذا
يؤدي إلى معادلة من الدرجة الرابعة يمكن إيجادها باستخدام البناء الموضح في الشكل
6. هنا، المثلثان C-O-D و B-E-D متشابهان؛ إذا كان الطول الموقع لـ B-C هو μ، فيمكن إيجاد معادلة لـ μ بتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث C-O-D:
(55) x²/(1
+ μ)² + y²/μ² = 1
ويمكن توسيعها لتعطي متعددة حدود
من الدرجة الرابعة في μ:
μ⁴ + 2μ³ + (1 - x² - y²)*μ² - 2y²μ - y² = 0
الجدول 4: حساب عكسي نموذجي ثانٍ محدد بالقيم:
ϕ₁ = -30°، ϕ₂ = 29.9°، و λ₁₂ =
179.8°.
نظرًا لأن النقاط شبه متقابلة،
يتم تحديد قيمة أولية لـ α₁ من خلال حل مسألة الشكل الكروي:
x = -0.382344
Δ = f *a *π *cos²β₁ هي وحدة الطول،
λ₁₂ = π + (Δ/(a cosβ₁)) x
β₂ = -β₁ + (Δ/a) y
y = -0.220189
μ = 0.231633
هنا μ يمثل الجذر الموجب للمعادلة
x²/(1 + μ)² + y²/μ² = 1
التخمين الأولي لـ α₁ = 161.914°
α₁ = ph(y/μ - i x/(1 +
μ)) (56)
في حالة y = 0، يتم تحديد α₁ من المعادلة
α₁ = ph(±max(0, 1 - x²) - i x) (57)
تستخدم قيمة α₁ الناتجة في الجدول 5.
|
الكمية |
القيمة |
المرجع/المعادلة |
|
ϕ₁ |
-30° |
معطاة |
|
ϕ₂ |
29.9° |
معطاة |
|
λ₁₂ |
179.8° |
معطاة |
|
x |
-0.382344 |
λ₁₂ = π +
(Δ/(a cosβ₁)) x |
|
y |
-0.220189 |
β₂ = -β₁ + (Δ/a) y |
|
μ |
0.231633 |
x²/(1 + μ)² + y²/μ² = 1 |
|
التقدير الأولي لـ α₁ |
161.914° |
α₁ = ph(y/μ - i x/(1 + μ))
|
تُبيّن قاعدة ديكارت للإشارات أنه عندما
يكون
y ≠ 0،
يوجد جذر حقيقي موجب واحد
(Olver et al., 2010،
وهو الحل المطابق لأقصر مسار. يمكن إيجاد
هذا الجذر باستخدام الطرق القياسية
(Olver et al., 2010،). تظهر المعادلة
x²/(1 + μ)² + y²/μ² = 1
عند التحويل من الإحداثيات الجيوسينترية إلى
الجيوديسية، وقد استخدمت الحل الذي قدمه Vermeille (2002) لهذه المسألة.
ثم يمكن تحديد السمت α₁ من المثلث COD في الشكل 6 بالعلاقة:
α₁ = ph(y/μ - i x/(1 + μ))
عندما يكون y =
0،
يتم إيجاد الحل بأخذ النهاية عندما
y → 0:
α₁ = ph(±max(0, 1 - x²) - i x)
توضح الجداول 4-6 معاً الحل الكامل للمسألة
العكسية للنقاط شبه المتقابلة.
الجدول 5: حساب عكسي نموذجي ثانٍ (متابعة).
هنا يشير
λ₁₂⁽⁰⁾ إلى قيمة
فرق الطول المطلوبة؛ حيث يتم استخدام طريقة نيوتن لضبط α₁ بحيث يصبح λ₁₂ = λ₁₂⁽⁰⁾. وتُستخدم قيمة α₁ النهائية في الجدول 6.
|
الكمية |
القيمة |
المرجع/المعادلة |
|
ϕ₁ |
-30° |
معطاة |
|
ϕ₂ |
29.9° |
معطاة |
|
α₁ |
161.914° |
α₁ = ph(y/μ - i x/(1 + μ))
|
|
λ₁₂⁽⁰⁾ |
179.8° |
معطاة |
|
β₁ |
-29.91674771324° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
α₀ |
15.60939746414° |
α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β| + i sin α cos β) |
|
σ₁ |
-148.81253566596° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
ω₁ |
-170.74896696128° |
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ) |
|
β₂ |
29.81691642189° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
α₂ |
18.06728796231° |
sin α₀ = sin α₁ cos β₁ = sin α₂ cos β₂ cosα₂ = +√(cos²α₁ cos²β₁ + (cos²β₂ - cos²β₁))/cosβ₂ |
|
σ₂ |
31.08244976895° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
ω₂ |
9.21345761110° |
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ) |
|
k² |
0.00625153791662 |
k = e' cos α₀ |
|
ϵ |
0.00155801826780 |
ϵ = (√(1 + k²) - 1)/(√(1 + k²) + 1) = e' cos α₀ k
= (2√ϵ)/(1 - ϵ) |
|
λ₁ |
-170.61483552458° |
λ = ω
- f sin α₀ I₃(σ) |
|
λ₂ |
9.18542009839° |
λ = ω - f sin α₀ I₃(σ) |
|
λ₁₂ |
179.80025562297° |
λ₂ - λ₁ |
|
δλ₁₂ |
0.00025562297° |
λ₁₂ - λ₁₂⁽⁰⁾ |
|
J(σ₁) |
-0.00948040927640 |
e² = (a² - b²)/a² = f(2 - f) |
|
J(σ₂) |
0.00031349128630 |
e² = (a² - b²)/a² = f(2 - f) |
|
m₁₂ |
57288.000110 م |
m₁₂/b = √(1 + k² sin²σ₂) cosσ₁ sinσ₂ - √(1 + k² sin²σ₁) sinσ₁
cosσ₂ - cosσ₁ cosσ₂ (J(σ₂) - J(σ₁)) |
|
dλ₁₂/dα₁ |
0.01088931716115 |
dλ₁₂/dα₁ = m₁₂/(a * cosα₂ * cosβ₂) |
|
δα₁ |
-0.02347465519° |
-δλ₁₂/(dλ₁₂/dα₁) |
|
α₁ (محدث) |
161.89052534481° |
α₁ + δα₁ |
|
δλ₁₂ (التكرار التالي) |
0.00000000663° |
|
|
α₁ (النتيجة النهائية) |
161.89052473633° |
الجدول 6: حساب عكسي نموذجي ثانٍ
(ختام). هنا يتم حل المسألة الهجينة (ϕ₁، ϕ₂، و α₁ معطاة). تتطابق قيمة λ₁₂ المحسوبة مع تلك المحددة في مسألة الجدول 4.
|
الكمية |
القيمة |
المرجع/المعادلة |
|
ϕ₁ |
-30° |
معطاة |
|
ϕ₂ |
29.9° |
معطاة |
|
α₁ |
161.89052473633° |
α₁ = ph(y/μ - i x/(1 + μ))
|
|
β₁ |
-29.91674771324° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
α₀ |
15.62947966537° |
α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β| + i sin α cos β) |
|
σ₁ |
-148.80913691776° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
ω₁ |
-170.73634378066° |
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ) |
|
β₂ |
29.81691642189° |
tan β = (1 - f) tan φ |
|
α₂ |
18.09073724574° |
sin α₀ = sin α₁ cos β₁ = sin α₂ cos β₂ cosα₂ = +√(cos²α₁ cos²β₁ + (cos²β₂ - cos²β₁))/cosβ₂ |
|
σ₂ |
31.08583447040° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
ω₂ |
9.22602862110° |
ω = ph(cos σ + i sin α₀ sin σ) |
|
s₁ |
-16539979.064227 م |
s/b = ∫₀ᵒ √(1 + k² sin²σ') dσ' = I₁(σ) |
|
s₂ |
3449853.763383 م |
s/b = I₁(σ) |
|
s₁₂ |
19989832.827610 م |
s₂ - s₁ |
|
λ₁ |
-170.60204712148° |
λ = ω - f sin α₀ I₃(σ) |
|
λ₂ |
9.19795287852° |
λ = ω - f sin α₀ I₃(σ) |
|
λ₁₂ |
179.80000000000° |
λ₂ - λ₁ |
النتائج النهائية:
- α₁ = 161.89052473633°
- α₂ = 18.09073724574°
- s₁₂ = 19,989,832.827610 متر
- λ₁₂ = 179.80000000000°
حساب المناطق الجيوديسية:
(58) S₁₂ = S(σ₂) - S(σ₁)
(59) S(σ) = c²α +
e²a²cosα₀sinα₀I₄(σ)
(60) c² = (a²/2) + (b²/2)(tanh⁻¹e/e)
(61) I₄(σ) =
-∫[π/2,σ] (t(e′²) - t(k²sin²σ′))/(e′² - k²sin²σ′) (sinσ′/2) dσ′
حيث:
t(x) = √x + (√x/√(x+1))sinh⁻¹√x
عند توسيع التكامل في قوى e′² و k² وتنفيذ التكامل نحصل على:
(62)
I₄(σ) = Σ[l=0→∞] C₄ₗ cos((2l+1)σ)
حيث:
(63)
C₄₀ = (2/3 - 1/15 e′² + 4/105 e′⁴ - 8/315 e′⁶ + 64/3465 e′⁸ - 128/9009 e′¹⁰)
- (1/20 - 1/35 e′² + 2/105 e′⁴ - 16/1155 e′⁶ + 32/3003 e′⁸) k²
+ (1/42 - 1/63 e′² + 8/693 e′⁴ - 80/9009 e′⁶) k⁴
- (1/72 - 1/99 e′² + 10/1287 e′⁴) k⁶
+ (1/110 - 1/143 e′²) k⁸
- 1/156 k¹⁰
+ ...
C₄₁ =
(1/180 - 1/315 e′² + 2/945 e′⁴ - 16/10395 e′⁶ + 32/27027 e′⁸) k²
- (1/252 - 1/378 e′² + 4/2079 e′⁴ - 40/27027 e′⁶) k⁴
+ (1/360 - 1/495 e′² + 2/1287 e′⁴) k⁶
- (1/495 - 2/1287 e′²) k⁸
+ 5/3276 k¹⁰
+ ...
C₄₂ =
(1/2100 - 1/3150 e′² + 4/17325 e′⁴ - 8/45045 e′⁶) k⁴
- (1/1800 - 1/2475 e′² + 2/6435 e′⁴) k⁶
+ (1/1925 - 2/5005 e′²) k⁸
- 1/2184 k¹⁰
+ ...
C₄₃ =
(1/17640 - 1/24255 e′² + 2/63063 e′⁴) k⁶
- (1/10780 - 1/14014 e′²) k⁸
+ 5/45864 k¹⁰
+ ...
C₄₄ =
(1/124740 - 1/162162 e′²) k⁸
- 1/58968 k¹⁰
+ ...
C₄₅ =
1/792792 k¹⁰
+ ...
الجدول 7: حساب المساحة
بين خط الاستواء والجيوديسي المحدد بـ:
φ₁ = 40°، α₁ = 30°، و s₁₂ =
10,000 كم
|
الكمية |
القيمة |
المعادلة |
|
α₀ |
22.55394020262° |
α₀ = ph(|cos α + i sin α sin β| + i sin α cos β) |
|
α₁ |
30° |
معطى |
|
α₂ |
149.09016931807° |
α = ph(cos α₀ cos σ + i sin α₀) |
|
σ₁ |
43.99915364500° |
σ = ph(cos α cos β + i sin β) |
|
σ₂ |
133.92164083038° |
σ = τ + Σ [C₁ₗ′ sin(2lτ)] C₁₁′ = 1/2 ϵ - 9/32 ϵ³ + 205/1536 ϵ⁵ + ... |
|
k² |
0.00574802962857 |
k = e' cos α₀ |
حساب المساحة:
(62) I₄(σ₁) = 0.47901814520
(62) I₄(σ₂) = -0.46191711902
(59) S(σ₁) = 21,298,942.66715 كم²
(59) S(σ₂) = 105,574,566.08950 كم²
(58) S₁₂ = 84,275,623.42235 كم²
ملاحظات إضافية:
- عند جمع S₁₂ بالمعادلة
S₁₂ = S(σ₂) -
S(σ₁)
- على أضلاع مضلع جيوديسي،
نحصل على مساحة المضلع بشرط ألا يحيط بأحد القطبين. إذا كان يحيط بالقطب، يجب
إضافة 2πc²
إلى النتيجة.
الحد الأول في
المعادلة
S(σ) = c²α +
e²a²cosα₀sinα₀I₄(σ)
- يساهم بـ c²(α₂ - α₁) في S₁₂. هذه مساحة الشكل الرباعي A-F-H-B على كرة نصف قطرها c ، وهي تتناسب مع الزيادة الكروية (α₂ - α₁).
- لهوية مناسبة لحساب (α₂ -
α₁) بدقة،
انظر بيسل (1825، §11):
(64) tan((α₂ - α₁)/2) = [sin(½(β₂ + β₁))/cos(½(β₂ - β₁))] tan(ω₁₂/2)
التنفيذ العملي:
- يمكن تحويل الخوارزميات إلى
كود عملي بسهولة.
- التوسعات متعددة الحدود
دقيقة حتى O(f⁶).
- يُنصح باستخدام طريقة هورنر
لتقييم كثيرات الحدود.
- تم اختبار التنفيذ في مكتبة
GeographicLib بدقة عالية.
الإسقاط
الجيوموني الإهليلجي:
- تعميم للإسقاط الجيوموني
الكروي على الإهليلج.
- يحافظ على أن الجيوديسيات
تظهر كخطوط شبه مستقيمة.
- البناء مشابه للإسقاط
الكروي مع تعديلات لمراعاة انحناء الإهليلج.
الشكل 7: يوضح بناء
الإسقاط الجيوموني المعمم كحد للإسقاط ذي السمت المزدوج.
المواصفات
الفنية للإسقاط الجيوموني الإهليلجي:
(65) لإسقاط
نقطة عشوائية
B:
x = ρ sinα₁
y = ρ cosα₁
حيث:
ρ = m₁₂/M₁₂
• يصبح هذا الإسقاط غير معرّف إذا كانت M₁₂ ≤ 0
• في الحالة
الكروية يصبح الإسقاط الجيوموني القياسي: ρ = a tanσ₁₂
مقاييس الإسقاط:
·
المقياس السمتي: 1/M₁₂
·
المقياس الشعاعي: 1/M₁₂² حسب المشتقة
dρ/ds₁₂ باستخدام المعادلة
W(M₁₂,m₁₂)(s₂) = M₁₂ dm₁₂/ds₂ - m₁₂
dM₁₂/ds₂ = 1
العكسية الإسقاطية:
1.
حساب α₁ = ph(y + ix)
2.
إيجاد s₁₂ باستخدام طريقة نيوتن مع dρ/ds₁₂ = 1/M₁₂²
3.
حل المسألة الجيوديسية المباشرة الناتجة
تحليل الانحرافات:
عند توصيل
نقطتين
B وC بخط مستقيم على الإسقاط وإعادة تحويله
للسطح:
(66) أقصى انحراف h عند منتصف المسار:
h = (l²/32)(∇K·t)t
حيث:
·
l: طول الجيوديسي
·
K: الانحناء الغاوسي
·
∇K: يتم
تقييمه عند مركز الإسقاط
A
·
t: المتجه العمودي من مركز الإسقاط إلى
الجيوديسي
• انحراف السمت عند نقاط النهاية: ≈ 4h/l
• زيادة
الطول عن المسافة الجيوديسية:
≈ (8/3)h²/l
الانحناء الغاوسي للإهليلج الدوراني:
(67)
∇K = -4ab⁻⁴e²(1-e²sin²φ)^(-5/2) cosφ sinφ
φ̂
حيث φ̂ متجه وحدة شمالي
حدود الانحراف الأقصى:
(68) h/r ≤ (f/8)(r³/a³) ( عند φ = ±45° والجيوديسي شرقي-غربي)
الشكل 8: يظهر الخط الساحلي لأوروبا وشمال أفريقيا
في الإسقاط الجيوموني الإهليلجي مع المركز عند (45°شمالاً، 12°شرقاً) قرب
البندقية. تظهر خطوط الشبكة بفواصل 10°. الدائرتان لهما نصف قطر جيوديسي 1000 كم
و2000 كم.
ملاحظات تقنية:
1.
البيانات مأخوذة من GMT بدقة "منخفضة"
2.
يكون الانحراف الأقصى عندما يكون المركز
عند
φ = ±45° والجيوديسي
في اتجاه شرقي-غربي
3.
يظهر الشكل دقة الإسقاط في تمثيل المناطق
الجغرافية الواسعة
**الشكل 8:** الخط الساحلي لأوروبا وشمال أفريقيا في
الإسقاط الجيوموني الإهليلجي مع المركز عند (45° شمالاً، 12° شرقاً) بالقرب من
البندقية. تظهر خطوط الشبكة الجغرافية على مسافات متعددة لـ 10°. الدائرتان
المتمركزتان على مركز الإسقاط لهما أنصاف أقطار جيوديسية مقدارها 1000 كم و2000
كم. بيانات الخطوط الساحلية مأخوذة من برنامج GMT (ويسل وسميث، 2010) بدقة "منخفضة".
**مقارنة مع إسقاطات جيومونية معممة أخرى:**
- قدم كل من باورينج (1997) وويليامز (1997) إسقاطاً تظهر
فيه القطاعات الناقصة الكبيرة كخطوط مستقيمة
- اقترح ليتوفالتسيف (1963) إسقاطاً تظهر فيه المقاطع
العمودية المارة بمركز الإسقاط كخطوط مستقيمة
- عملياً، تتناسب نسبة h/r مع r/a وr²/a² في هذه الإسقاطات، مما يجعلها أقل دقة من الإسقاط الحالي (حيث h/r ∝ r³/a³) في الحفاظ على استقامة الخطوط الجيوديسية
**خصائص الإسقاط الجيوموني الإهليلجي:**
- عند تقدير الجيوديسي بين أي نقطتين داخل الدائرة الأولى
(1000 كم) باستخدام خط مستقيم على الشكل، يكون الانحراف عن الجيوديسي الحقيقي أقل
من 1.7 متر
- لأي نقطتين داخل الدائرة الثانية (2000 كم)، الانحراف
الأقصى 28 متر
- الأخطاء القصوى في السمت الطرفي: 1.1 ثانية قوسية و8.6
ثانية قوسية
- الأخطاء القصوى في الأطوال: 5.4 ميكرومتر و730 ميكرومتر
فقط
**تطبيقات عملية للإسقاط الجيوموني:**
1. **مسألة التقاطع:**
- تحديد نقطة تقاطع O بين جيوديسي A-B وجيوديسي C-D
- طريقة الحل:
* تخمين نقطة تقاطع أولية O⁽⁰⁾
* استخدامها كمركز للإسقاط
* حساب مواضع النقاط A,B,C,D في الإسقاط (a,b,c,d)
* إيجاد تقاطع a-b وc-d في مستوى الإسقاط باستخدام:
(69) o = [(c×d·ẑ)(b-a) - (a×b·ẑ)(d-c)]
/ [(b-a)×(d-c)·ẑ]
* إسقاط النقطة o عكسياً لإيجاد O⁽¹⁾
* تكرار العملية حتى التحقق
2. **مسألة الاعتراض:**
- إيجاد النقطة O على جيوديسي A-B الأقرب لنقطة معطاة C
- طريقة الحل:
* حساب نقطة الاعتراض في الإسقاط باستخدام:
o = [c·(b-a)(b-a) - (a×b·ẑ)ẑ×(b-a)] / |b-a|²
* نفس عملية التكرار السابقة
**ملاحظات الخوارزمية:**
- تتقارب الخوارزميات تربيعياً نحو النتيجة الدقيقة
- تشترط أن تكون النقاط المعطاة ضمن ربع دائرة زوالية من
نقاط التقاطع/الاعتراض
- تضمن هذه الشرطات أن الإسقاط الجيوموني يبقى معرّفاً
خلال العمليات الحسابية
- توفر هذه الطرق حلاً دقيقاً وسريعاً للمسائل الجيوديسية
المعقدة
### **الاستنتاجات**
تتضمن
المسائل الجيوديسية الكلاسيكية حل المثلث الإهليلجي NAB الموضح في الشكل (1)، حيث تُمثَّل أضلاعه
وزواياه بـ:
·
ϕ₁، ϕ₂، s₁₂ (المسافة الجيوديسية).
·
α₁، α₂ (الزوايا السمتية).
·
λ₁₂ (فرق الطول).
في المسألة المباشرة، تكون ϕ₁ و α₁ و s₁₂ معطاة، بينما في المسألة العكسية، تُحدد ϕ₁ و λ₁₂ و ϕ₂. الهدف في كلتا الحالتين هو حساب الضلع
والزوايا المتبقية. توفر الخوارزميات المقدمة هنا حلولًا دقيقةً وسريعةً وقويةً
لهذه المسائل، كما تتيح حساب الكميات التفاضلية والتكاملية مثل m₁₂ و M₁₂ و M₂₁ و S₁₂.
يعتمد
جزء كبير من هذا العمل على تطبيق تقنيات حسابية معيارية على أبحاث سابقة. ومع ذلك،
هناك جانبين على الأقل يُعتبران جديدين:
1. **هذه الورقة تقدم أول حل كامل للمسألة الجيوديسية العكسية**.
2. **الإسقاط الإهليلجي القنومي (الغنوموني)** يُعد أداةً
جديدةً لحل مسائل هندسية متنوعة على سطح الإهليلج.
بالإضافة
إلى ذلك، فإن تجميع هذه القدرات الجيوديسية في مكتبة واحدة يُعد إنجازًا جديدًا.
وهذا يوفر حلًا مباشرًا للعديد من المسائل المثيرة للاهتمام، مثل:
- **إسقاطين جيوديسيين**:
- **الإسقاط السمتي متساوي المسافة**
(Azimuthal Equidistant Projection).
- **إسقاط كاسيني-سولدنر**
(Cassini-Soldner Projection)، الذي يُكتب
بسهولة ولا تكون نطاقات تطبيقه محدودةً اصطناعيًا (على عكس الحال عند استخدام متسلسلة تمدد الإسقاط، كما في Snyder، 1987، §13).
- تُعطى مقاييس هذه الإسقاطات ببساطة بدلالة \( m_{12} \) و\( M_{12} \).
يمكن
معالجة مسائل أخرى بسهولة باستخدام هذه المكتبة، مثل:
- حل مسائل مثلثات إهليلجية إضافية.
- حساب **الخط المتوسط** (Median
Line) والحدود البحرية الأخرى.
(لمزيد من التفاصيل، انظر Karney،
2011).
يُمكن
العثور على معلومات إضافية، بما في ذلك كود **Maxima
(2009)** المُستخدم لإجراء تمددات
تايلور، وتنفيذ **JavaScript** الذي يتيح حل المسائل الجيوديسية على الأجهزة المحمولة،
عبر الصفحة:
http://geographiclib.sf.net/geod.html
---
**الشكر والتقدير**
أود
أن أشكر **رود ديكين**، و**جون نولتون**، و**بيتر أوزبورن**، وكذلك محكّمي هذه
الورقة، على تعليقاتهم القيمة.
---
المراجع
بلمترامي (1865)
إ.
بلمترامي، 1865، *حل المسألة: تمثيل نقاط سطح على مستوى بحيث تمثل الخطوط
الجيوديسية بخطوط مستقيمة*، حوليات الرياضيات البحتة والتطبيقية، 7، 185-204،
[رابط المصدر]
http://books.google.com/books?id=dfgEAAAAYAAJ&pg=PA185
بيسل (1825)
ف. ف.
بيسل، 1825، *حساب خطوط الطول والعرض من القياسات الجيوديسية*، أخبار علم الفلك،
4(86)، 241-254، [رابط المصدر http://adsabs.harvard.edu/abs/1825AN......4..241B
]،
ترجمة إنكليزية بواسطة ك. ف. ف. كارني و ر. إ. ديكين (2010).
doi:10.1002/asna.201011352
بوورينج (1997)
ب. ر.
بوورينج، 1997، *الإسقاط المركزي للسطح الإهليلجي وخطوط السطح*، مراجعة المساحة،
34(265)، 163-173.
بوجيفسكي
وسنايدر (1995)
ل. م.
بوجيفسكي و ج. ب. سنايدر، 1995، *إسقاطات الخرائط: دليل مرجعي*، تايلور وفرانسيس،
لندن، [رابط المصدر]. doi:10.1002/asna.201011352
كريستوفيل (1868)
إ. ب.
كريستوفيل، 1868، *النظرية العامة للمثلثات الجيوديسية*، أبحاث رياضية، أكاديمية
برلين، 8، 119-176، [رابط المصدر].
https://books.google.dz/books?id=EEtFAAAAcAAJ&pg=PA119&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
كليرو (1735)
أ. ك.
كليرو، 1735، *تحديد هندسي للعمودي على خط الزوال الذي رسمه كاسيني*، مذكرات
أكاديمية العلوم، باريس، ص 406-416، [رابط المصدر].
https://books.google.dz/books?id=GOAEAAAAQAAJ&pg=PA406&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
كلينشو (1955)
س. و.
كلينشو، 1955، *ملاحظة حول جمع متسلسلات تشيبيشيف*، جداول الرياضيات والحوسبة،
9(51)، 118-120، [رابط المصدر].
https://www.jstor.org/stable/2002068
دانيالسن (1989)
ج. س.
دانيالسن، 1989، *المساحة تحت المنحنى الجيوديسي*، مراجعة المساحة، 30(232)، 61-66.
غاوس (1828)
ك. ف.
غاوس، 1828، *بحوث عامة حول الأسطح المنحنية*، [رابط المصدر]، ترجمة إنكليزية (1902).
https://books.google.dz/books?id=bX0AAAAAMAAJ&redir_esc=y
https://books.google.dz/books?id=a1wTJR3kHwUC&redir_esc=y
هلمرت (1880)
ف. ر.
هلمرت، 1880، *النظريات الرياضية والفيزيائية للجيوديسيا العليا*، المجلد 1، [رابط
المصدر]، ترجمة إنكليزية (1964).
https://books.google.dz/books?id=qt2CAAAAIAAJ&redir_esc=y
https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/helmert80-en.html
ياكوبي (1891)
ك. ج.
ج. ياكوبي، 1891، *حول المنحنى المماس لجميع الخطوط الجيوديسية المنبثقة من نقطة
على سطح إهليلجي دوراني*، [رابط المصدر].
https://books.google.dz/books?id=_09tAAAAMAAJ&pg=PA72&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
كارني (2011)
ك. ف.
ف. كارني، 2011، *الخطوط الجيوديسية على سطح إهليلجي دوراني*، تقرير فني، معهد
ستانفورد للأبحاث، [رابط المصدر].
arxiv:1102.1215v1
كارني (2012)
نفس
المؤلف، 2012، *مكتبة GeographicLib*، الإصدار 1.20، [رابط الموقع].
https://geographiclib.sourceforge.io
لجيندر (1806)
أ. م.
لجيندر، 1806، *تحليل المثلثات المرسومة على سطح كروي إهليلجي*، [رابط المصدر].
https://books.google.dz/books?id=-d0EAAAAQAAJ&pg=PA130-IA4&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
ليتوفالتسيف (1963)
إ. ج.
ليتوفالتسيف، 1963، *تعميم الإسقاط القنومي للسطح الإهليلجي*، الجيوديسيا والتصوير
الجوي، 5، 271-274.
ماكسيما (2009)
نظام
الجبر الحاسوبي ماكسيما، الإصدار 5.20.1، [رابط الموقع].
https://maxima.sourceforge.io/ar/index.html
أولفر
وآخرون (2010)
ف.
دبليو. جيه. أولفر و آخرون، 2010، *كتيب دوال NIST الرياضية*، [رابط المصدر].
أورياني (1806-1810)
ب.
أورياني، 1806-1810، *أساسيات حساب المثلثات الكروية الإهليلجية*، الأجزاء 1-3،
[روابط المصادر].
www.archive.org/stream/memoriedellistit21isti#page/1
راب (1993)
ر.
هـ. راب، 1993، *الجيوديسيا الهندسية، الجزء الثاني*، [رابط المصدر].
https://kb.osu.edu/handle/1811/24409
سنايدر (1987)
ج. ب.
سنايدر، 1987، *إسقاط الخرائط: دليل عملي*، [رابط المصدر].
https://kb.osu.edu/items/93dbb321-fba4-523b-b847-3ede9a9acdd9
فيرمي (2002)
هـ.
فيرمي، 2002، *التحويل المباشر من الإحداثيات الجيوسنترية إلى الجيوديسية*، [رابط
المصدر].
doi:10.1007/s00190-002-0273-6
فنسنتي (1975)
ت.
فنسنتي، 1975، *حلول مباشرة وعكسية للخطوط الجيوديسية على السطح الإهليلجي*، [رابط
المصدر].
https://www.ngs.noaa.gov/PUBS_LIB/inverse.pdf
https://geographiclib.sourceforge.io/geodesic-papers/vincenty75b.pdf
ويسل
وسميث (2010)
ب.
ويسل و دبليو. إتش. إف. سميث، 2010، *أدوات رسم الخرائط العامة*، [رابط الموقع].
ويليامز (1997)
ر.
ويليامز، 1997، *الإسقاط القنومي لسطح إهليلجي*،.
doi:10.1017/S0373463300023936
رابط
الورقة البحثية بلغتها الأصلية بي دي إف
ورابط آخر مكتوب
https://arxiv.org/pdf/1109.4448
https://ar5iv.labs.arxiv.org/html/1109.4448
رابط
لغات البرمجة المتوفرة للمشروع
https://geographiclib.sourceforge.io/doc/library.html
صفحة ويب للحساب أون لاين
https://geographiclib.sourceforge.io/scripts/geod-calc.html
رابط كود جافا اسكريبت
https://www.npmjs.com/package/geographiclib-geodesic?activeTab=code
تعليقات
إرسال تعليق